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PGE971 - Processamento de Sinais

Versão do curso: 2012.2 (4a. Edição)
Período: [13/8/2012]-[18/1/2013]
Horários de Aula: Terça-feira às 10am e Quinta-feira às 10am

Lemas do Curso

Ementa Tentativa

Análise Clássica de Fourier.
Sinais e Sistemas discretos.
Transformadas Trigonométricas e Transformada Z.
Teoria da Amostragem.
Estruturas de Sistemas Discretos.
Filtros FIR e IIR.
Algoritmos Rápidos.

Bonus (a depender da motivação, esforço e habilidade discente)

Sinais bidimensionais.
Filtragem de imagens.
Algoritmos Estocásticos.
Estimação Espectral.
Análise Tempo-Freqüencial.
Wavelets.

Assuntos Ministrados

Aula Assunto
Parte I: Análise Clássica de Fourier
1 - 13/8 Apresentação do Curso e Metodologia; Expansão em Séries de Funções Ortogonais, Série de Fourier [dO97, pp. 11-19]; Análise Harmônica de Sinais Reais [dO97, pp. 20-21]
2 - 17/8 Representação Exponencial [dO97, pp. 22-23]; Da Série de Fourier para a Transformada de Fourier [dO97, pp. 24-29]
3 - 20/8 Impulso unitário, Amostragem Pontual, Transformada de Fourier de funções elementares, Transformada de Fourier de funções periódicas, Convolução, Propriedades da Transformada de Fourier [dO97, pp. 29-40]
4 - 23/8 Mais sobre a Transformada de Fourier, Valor Principal de Cauchy, Teoremas, Modulação, Teorema de Parseval e da Energia, Momentos [P77, pp. 56-69]
5 - 28/8 Da Transformada de Fourier para a Série, Teoremas Relacionados à Série de Fourier, Pente de Dirac [P77, pp. 69-74]; Propriedades Assintóticas da Transformada de Fourier, Lemma de Riemann [P77, pp. 94-95]
6 - 4/9 Funções de Banda-limitada, Propriedades Assintóticas [P77, p.184-191], Dualidade Tempo-Freqüência [dO97, p.42]; Princípio da Incerteza [P77, pp. 273]
7 - 11/9 Exame I
Parte II: Sinais Discretos e Amostragem
8 - 18/9 Sinais de Tempo Discreto, Sistemas de Tempo Discreto, Propriedades, Sistemas Lineares Invariantes no Tempo [OSB99, pp. 8-25], Cálculo da Convolução Discreta [OSB99, pp. 26-28]
9 - 25/9 Propriedades de Sistemas LIT [OSB99, pp. 28-34], Equações Diferença Lineares de Coeficientes Constantes [OSB, pp. 34-39], Representação no Domínio Frequencial, Auto-funções [OSB99, pp. 40-41]
10 - 28/9 Filtros Ideais [OSB99, pp. 40-48]; Transformada de Fourier de Tempo-Discreto [OSB99, pp. 48-65]; Exemplos de pares transformados (DTFT), Propriedades de Simetria da DTFT, Teoremas da DTFT, Exemplos do Uso dos Teoremas [OSB99, pp. 51-65]
11 - 2/10 Transformada Z: Definição, ROC, Pares transformados, Fórmula de Inversão, Propriedades [OSB99, pp. 94-127]
12 - 4/10 Amostragem Periódica [OSB99, pp. 140-153]
13 - 5/10 Processamento de Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo [OSB99, pp. 153-160]; Exemplo 'prático'; Digressão sobre Reamostragem
14 - 9/10 Exame II
Parte III: Processamento de Sinais Discretos
15 - 15/10 Análise de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo: Resposta em Freqüência, Distorção em Magnitude e Fase, Atraso de Grupo; Sistemas Baseados em Equações Diferenças, Estabilidade e Causalidade, Sistemas Inversos, Resposta ao Impulso (IIR vs FIR) [OSB99, pp. 240-253]
16 - 18/10 Método dos mínimos quadrados, diferenciação numérica e integração numérica analisados como filtros [H97, pp.1-21, pp.35-70]
17 - 23/10 Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto: Forma Direta, Forma Canônica, Forma em Cascata, Forma Paralela; Estruturas IIR e FIR [OSB99, pp. 340-369]
18 - 25/10 Sinais Periódicos vs Aperiódicos, Contínuos vs Discretos ["Having Fun with the Fourier Transform", vide Material Suplementar]; Série de Fourier Discreta, Propriedades [OSB99, pp. 542-551], Transformada de Fourier de Sinais Periódicos, Amostragem da Transformada de Fourier, DFT, Propriedades da DFT [OSB99, pp. 551-576]; Convolução Circular vs Convolução Linear, Alias temporal [OSB99, pp. 576-588]
19 - 30/10 Exame III
Parte IV: Algoritmos Rápidos
20 - 4/12 Algorithmos Rápidos: Conceito; FFT; Multiplicação de Complexos [B85, pp. 1-8]; Representação binária, Aritmética de Ponto Flutuante, Propagação de Erros
21 - 6/12 Algoritmo de Gauss-Cooley-Tukey [B85, pp. 114-118]; Algoritmo de Cooley-Tukey Base-2 (Decimação no Tempo) [B85, pp. 118-120]
22 - 11/12 Algoritmo de Cooley-Tukey Base-2 (Decimação na Freqüência), Complexidade aritmética [B85, pp. 120-121]; Algoritmo de Rader-Brenner [B85, pp. 122-125]
23 - 13/12 Comentários sobre o Algoritmo de Rader-Brenner; Decimação no Tempo [OSB99, 635-640]; Fatoração matricial
24 - 18/12 Algoritmo de Goertzel [OSB99, pp. 633-635]; Transformadas Híbridas, Transformadas Arredondadas, Métodos Aproximados
25 - / Exame IV
Parte V: Tópicos Especiais
26 - 14/1 Estimação Espectral I (cjt): VV. AA. e Estimadores [H96, pp. 57-74]
27 - 14/1 Estimação Espectral II (cjt/dfgc): Processos Estocásticos [H96, pp. 74-88]
28 - 15/1 Estimação Espectral III (dfgc): Ergodicidade, Espectro de Potência, Filtragem [H96, pp. 88-104] (Property 4, p. 97, apenas o enunciado)
29 - 15/1 Estimação Espectral IV (cjt): Fatoração Espectral, Tipos Especiais de Processos Estocásticos [H96, pp. 104-118]
30 - 16/1 Estimação Espectral V (cjt/dfgc): Periodograma: Derivação, Viés, Resolução [H96, pp. 391-403]
31 - 16/1 Estimação Espectral VI (dfgc): Periodograma Modificado, Método de Bartlett [H96, pp. 408-415]
32 - 17/1 Wavelets I (cjt): [SN96, pp. 1-11]
33 - 17/1 Wavelets II (cjt/dfgc): [SN96, pp. 12-21]
34 - 18/1 Wavelets III (dfcg): [SN96, pp. 22-35]

Tarefa de Casa

Aula Tarefa
1 (i) Leia sobre Signal Processing.
(ii) Leia sobre Inner product e Orthogonality.
(iii) Obtenha o livro "Mathematical Methods for Physicists" por George Arfken e examine os capítulos sobre "Fourier Series" e "Special Functions".
(iv) Preencha os detalhes matemáticos do desenvolvimento em [dO97, pp. 16-17].
(vi) Demonstre os resultados contidos na tabela em [dO97, pp. 21].
(vii) Comece a resolver a lista sobre expansões em séries.
(viii) Leia sobre Energy.
(ix) Leia o assunto da próxima aula.
2 (i) Leia [C07, Sec. 1-2].
(ii) Vide [P62, Cap. 1-2].
(iii) Use o programa WaveShaper (Roda em Windows. Usuários de Linux devem usar a camada de compatibilidade Wine).
(iv) Escreva um programa que calcula a série de Fourier segundo a especificação abaixo. Use integração numérica pelo método dos retângulos.
%function c = fourier_series(f,interval,K)
%
% Input variables:
%
% f: sampled function
% interval: Periodization interval
% K: Number of harmonics
%
% Output variable:
%
% c: Fourier series coefficients
%
% Usage:
% >> c = fourier_series(f,interval,K)
(v) Leia o assunto da próxima aula.
3 (i) Leia sobre o função generalizada delta de Dirac \(\delta(t)\) [dO97, pp. 29-31] e resolva os exercícios em [dO97, p.32-35].
(ii) Use o seu pacote computacional favorito e realize a convolução de duas seqüências arbitrárias.
(iii) Usando apenas os teoremas, encontre o espectro de um pulso triangular modulado por \(\sin(\omega_0 t)\).
(iv) Demonstre em detalhes o Teorema de Plancherel.
(v) Demonstre com o máximo de detalhes todas as propriedades da Transformada de Fourier citadas em [dO97, p.38].
(vi) Calcule a transformada de \(t^n u(t)\), em que \(n\) é um inteiro positivo.
(vii) Leia sobre Bandwidth.
(viii) Resolva a Lista sobre a Transformada de Fourier.
(ix) Leia o assunto da próxima aula.
4 (i) Leia sobre o valor principal de Cauchy.
(ii) Leia o assunto da próxima aula.
5 (i) Encontre o mais formalmente possível a derivada do delta de Dirac.
(ii) Preencha os detalhes de todas as partes omitidas da prova do Lema de Riemann em [P77, p.95]. Vide também esta referência e esta.
(iii) Assimile os resultados de Cálculo em [P77, pp. 92-93].
(iv) Leia o assunto da próxima aula.
6 (i) Preencha os detalhes omitidos na prova do Teorema 3 em [P77, p.186].
(ii) Verifique os pares transformados das funções ilustradas na Fig. 6-4 em [P77, p.189].
(iii) Resolva a Lista sobre a Função Generalizada de Dirac.
(iv) Examine o Princípio da Incerteza e sua demonstração contida em [P77, p.273-275].
(v) Resolva a Lista sobre o Princípio da Incerteza.
(vi) Examine os seguintes artigos por Donoho & Stark, Folland & Sitaram e Cohen. Vide lista abaixo.
(vii) Leia o assunto da próxima aula.
8 (i) Resolver os Problemas propostos em [OSB99, pp. 70-93] a sua discrição.
(ii) Leia o assunto da próxima aula.
9 (i) Resolver os Problemas propostos em [OSB99, pp. 70-93] a sua discrição.
(ii) Leia o assunto da próxima aula.
10 (i) Resolver os Problemas propostos em [OSB99, pp. 70-93] a sua discrição.
(ii) Leia o assunto da próxima aula.
11 (i) Resolver os Problemas propostos em [OSB99, pp. 127-139] a sua discrição.
(ii) Leia o assunto da próxima aula.
13 (i) Resolver os Problemas propostos em [OSB99, pp. 127-139] a sua discrição.
(ii) Leia sobre a transformada Z aqui e aqui.
(iii) Leia o assunto da próxima aula.
14 (i) Resolver os Problemas propostos em [OSB99, pp. 127-139] a sua discrição.
(ii) Demonstre a Equação 3.45 [OSB99, p.114].
(iii) Leia o assunto da próxima aula.
15 (i) Disseque os artigos sobre Aliasing e Nyquist-Shannon Sampling Theorem, além de outros artigos relacionados.
(ii) Veja o vídeo Freezing a fan with a stroboscope e Waterdrop experiment, Stroboscope light em YouTube.
(iii) Escreva um programa que simule os Exemplos 4.1-4.3 [OSB99, pp. 147-149].
(iv) Examine o artigo por Gerry et al. listado abaixo.
(v) Examine o clássico artigo "Communication in the presence of noise" por Claude E. Shannon.
20 (i) Analise o algoritmo alternativo para multiplicação de complexos [B85, p.3] e obtenha seu diagrama de fluxo de sinais.
(ii) Mostre em detalhes que o algoritmo alternativo para multiplicação matricial [B85, p.4] tem a complexidade computacional descrita \((\frac{1}{2} nlm + \frac{1}{2} n(l + m)\) multiplicações e \(\frac{3}{2} nlm + lm + (\frac{1}{2} n - 1)(l + m)\) adições.
(iii) Resolva o problema 1.2 em [B85, p.19].
(iv) Leia sobre aritmética de ponto flutuante.
(v) Leia sobre comportamento assintótico [Graham, Knuth, Patashnik, "Concrete Mathematics", cap. 9] (disponível na Biblioteca Setorial do CCEN).
(vi) Use um pacote computacional simbólico (e.g., Maple ou Mathematica) e encontre formas exatas em termos de radicais para a matriz de transformação da DFT de vários comprimentos (e.g, \(N=3,4,5,6,7,8,16,32\).)
21 (i) Particularize o algoritmo de Cooley-Tukey para o caso \(n = 2^m\) a partir das equações gerais descritas em [B85, p.116]
(ii) Examine sobre a fatoração ótima para o algoritmo de Cooley-Tukey.
(iii) Encontre o número de multiplicações não-triviais da DFT. Multiplicaçõe triviais são aquelas por \(\pm 1, \pm j\).
(iv) Escreva o algoritmo de decimação no tempo em formato matricial, evidenciando todas as matrizes de adição, multiplicação, permutação etc, se existirem. (v) Demonstre que a complexidade multiplicativa do algoritmo de Cooley-Tukey ([B85, p.117]) é menor do que a complexidade multiplicativa da DFT pela definição.
(vi) Analise a recursão em [B85, p.118].
(vii) Derive em detalhes as recursões fornecidas em [B85, p.121].
22 (i) Fatore a matriz de transfomação da DFT de comprimento 16 em matrizes de pré-adição, multiplição e pós-adição. (Pode haver mais de uma delas).

Biografias Selecionadas

Referências Primárias

Referências Adicionais

Artigos

Política do Curso

Durante o curso serão indicadas listas de exercícios. As resolução das listas é opcional, porém recomendada. Recomendo a resolução solitária das listas e consulta constante à biblioteca.

O conceito do curso será baseado nos exercícios escolares.

Para muitos alunos, este curso é o primeiro contato com Análise de Fourier e métodos de Processamento de Sinais. Dessa maneira, o curso tentará se manter em um grau apenas moderado de formalismo e rigor.