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ET583 - Probabilidade III

Ementa: [pdf, txt]

Versão do curso: 2012.2
Período: [3/12/2012]-[25/4/2013]
Horário: Terça-feira, 08-10h; Quinta-feira, 8-10h

Assuntos Ministrados

Aula Assunto
1 - 4/12 Apresentação do Curso e Metodologia
2 - 6/12 Vetores Aleatórios, Exercícios [D70, pp. 137-143]
3 - 11/12 Distribuição de Probabilidade Conjunta, Exercícios; Densidade de Probabilidade Conjunta [D70, pp. 143-147]
4 - 13/12 Relações entre Densidades e Distribuições Conjuntas [D70, pp. 147-149]
5 - 18/12 Exercícios [D70, pp. 149-152]
6 - 20/12 Revisão [H71, pp.143-146], Distribuições Conjuntas Condicionais [D70, pp. 152-154], Exercícios [D70, p. 155]
7 - 15/1 Densidades Condicionais [D70, pp. 156-157]; Digressão sobre métodos estatísticos, distribuições empíricas e o teste de Kolmogorov-Smirnov
8 - 17/1 Condicionamento pontual [D70, pp. 158-159], Propriedades da função densidade de probabilidade condicional, Exercícios [D70, pp. 159-162]
9 - 22/1 Independência de VV.AA., Exercícios [D70, pp. 164-168]
10 - 24/1 Independência [D70, pp. 168-170], Propriedades de Distribuições Multidimensionais (Independência) [H71, pp. 161-163], Propriedade Hereditária [H71, p. 163, Teorema 4]; Comentários revisionais
11 - 29/1 Funções de Vetores Aleatórios [D70, pp. 186-190], Exercício 3.1 [D70, p. 192]
12 - 31/1 Soma de Variáveis Aleatórias (continuação) [D70, pp. 191-193], Exercício 3.3 [D70, p. 193]; Convolução; Propriedades da Convolução; Função generalizada delta de Dirac (impulso)
13 - 5/2 Outras funções escalares, Produto de Variáveis Aleatórias [D70, pp. 194-195]
14 - 7/2 Distribuição do Quociente [D70, pp. 195-196], [H71, pp. 154-156]
15 - 14/2 1o. Exercício Escolar (versa sobre as aulas 2-14)
16 - 19/2 Correção do 1o. EE
17 - 21/2 Estatística de Ordem [H71, pp. 164-167]
18 - 26/2 Transformações Um-a-um, Jacobiano [D70, pp. 197-203]
19 - 28/2 Exercícios, Caso n-dimensional [D70, pp. 204-206]
20 - 5/4 Distribuições Amostrais (Gamma, Chi-quadrado, F) [HPS71, pp. 168-169, 162-163, 152]
21 - 12/4 Extensão para o Caso Contínuo, Integral de Lebesgue-Stieltjes [D70, pp. 223-231]
22 - 19/4 Momentos Conjuntos, Correlação, Covariância [D70, p. 246]; Descorrelação, Descorrelação dois-a-dois, Independência e Descorrelação, Ortogonalidade [D70, pp. 247-249]
23 - 21/3 Vetores Aleatórios Gaussianos, Distribuição Normal Multivariada [D70, pp. 249-250]; Contra-exemplos 4.11, 4.12, 4.23, 4.26 [RS86]
24 - 26/3 Esperança Condicional [D70, pp. 250-254]
25 - 2/4 Aplicação da matriz de covariância: Análise de Componente Principal
26 - 9/4 Esperança Condicional [H71, pp. 187-189], Função de Regressão [H71, p. 188], Variância Condicional [MS]; Aplicações: Média Amostral, Estimador, Estimador Não-viesado, Convergência em Média Quadrática, Convergência em Probabilidade, Estimadores Consistentes [D70, pp. 268-273]
27 - 11/4 Aplicações: Lei Fraca dos Grandes Números, Teorema de Bernoulli [D70, pp. 273-274]; Estimadores de Mínima Variância [D70, pp. 282-283], Predição [D70, pp. 286-288, pp. 292-294]
28 - 16/4 2o. Exercício Escolar (versa sobre as aulas 17-27)
29 - 18/4 Correção do 2o. EE
30 - 23/4 2a. Chamada (versa sobre as aulas 2-27)
31 - 25/4 Exercício Final (versa sobre as aulas 2-27)

Tarefa de Casa

Aula Tarefa
1 (i) Leia sobre a carreira profissional.
(ii) Leia sobre Política e Etiqueta em sala de aula.
2 (i) Leia sobre o Princípio da Razão Insuficiente.
(ii) Escreva um programa que simule o Exercício 1.1 [D70, p. 140]. Considere a freqüência relativa para estimar a função de probabilidade.
3 (i) Verifique a Equação 3.2 [D70, p. 146].
(ii) Considere uma vector aleatório \((X,Y,Z)\). Use a definição de derivada e encontre a probabilidade associada a uma região em forma de paralelepípedo em termos da função de distribuição \( F_{X,Y,Z} \).
(iii) Identifique a quantidade de subconjuntos em um conjunto discreto finito.
(iv) Escreva um programa que trace os gráficos pedidos nos Exercícios 2.1 e 2.2 [D70, pp. 144-145].
(v) Demonstre a Equação 3.4 [D70, p. 147].
4 Considere um vector aleatório \( (X,Y,Z) \). Prove que a probabilidade associada a uma região em forma de paralelepípedo é dada por uma integral tripla.
5 (i) Consulte o artigo Probability distribution em Wikipedia.
(ii) Obtenha e aprenda a usar o programa Winplot.
6 (i) Resolva exercícios em [H71, pp. 174-177].
7 (i) Resolva o Ex.5.2 [D70, p. 157] com extremo detalhe e organização.
(ii) Usando o R, simule várias observações a v.a. X do Ex. 5.2 [D70, p. 157] (\(N>100\)); faça um histograma.
(iii) Descubra como usar o teste de Kolmogorov-Smirnov usando o R e verifique se as observações geradas no item anterior satisfazem normalidade.
(iv) Usando recursos computationais, construa o gráfico de \( F_{X,Y}(x,y) \) do Ex.5.2 [D70, p. 157].
8 Resolva os exercícios em [D70, pp. 162-163].
9 Lista de Exercício Mandatória: Exercícios 6.1-6.6 [D70, pp. 166-168].
10 Demonstre as Equações 6.12 e 6.13 [D70, p. 169].
12 (i) Resolva os Exercícios 3.1-3.4 [D70, pp. 192-193].
(ii) Resolva a seguinte Lista de Exercícios sobre a função generalizada Delta de Dirac. Um texto acerca do Delta de Dirac está no Apêndice do Livro do Papoulis [Papoulis, "The Fourier Transform and Its Applications"].
14 Usando a Equação 3.19 [D70, p. 195], obtenha a Equação (22) [H71, p.155]. Dica: Note que o quociente \( Z = X/Y \) é o mesmo que o produto \( Z = X \times (1/Y) \).
15 Resolva em detalhes o 1o. Exercício Escolar.
17 (i) Estude a "forma heurística" descrita em [H71, p. 167] para a obtenção da Equação (38) [H71, p. 166].
(ii) Resolva os Exercícios 19 e 20 em [H71, p. 199].
(iii) Escreva um programa em R para simular as estatísticas de ordem. Como ponto de partida, analise o seguinte programa escrito em linguagem Matlab/Octave: order_statistics.m. Como exemplo de uma simulação, veja estes histogramas.
18 (i) Resolva os Exercícios 4.2 e 4.3 [D70, pp. 203-204].
(ii) Estude a Secção 6.7 [H71, pp. 171-173].
(iii) Consulte seu livro de Cálculo favorito e reexamine o conceito de 'transformação de variáveis' e 'Jacobiano'.
(iv) Resolva os Exercícios 41, 42 e 43 [H71, p. 177].
20 (i) Visite a biblioteca do CCEN e consulte as seguintes referências:

  • Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N., "Continuous Univariate Distributions", Wiley-Interscience, 1994.
  • Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N., "Univariate Discrete Distributions", Wiley-Interscience, 2005.

  • (ii) Resolva a seguinte pequena lista de exercícios sobre a manipulação de algumas distribuições amostrais notáveis.
    (iii) Resolva os Exercícios 4.2 e 4.5 [D70, pp. 222-223].
    (iv) Estude o Teorema 7 e 8 em [H71, pp. 168-169].
    21 Verifique as Expressões 6.3-6.7 [D70, pp. 232-233]; Faça o Exercício 6.1 [D70, p. 233].
    22 (i) Resolva a seguinte Lista de Exercícios.
    (ii) Resolva os exercícios sobre ortogonalidade em [D70, pp. 248-249].
    23 (i) Faça uma animação da fdp gaussiana bidimensional usando como parâmetros de animação a médias e variâncias (e.g., Mathematica Animate).
    (ii) Escreva um código que para testar se uma dada matriz é uma matriz de covariância.
    24 Resolva o Exercício 11.4(a) [D70, p. 254] para todo k.
    25 (i) Seja \( \mathbf{X} \) um vetor aleatório de comprimento \( N \) e \( \mathbf{u} \) um vetor em \( \mathbb{R}^N \). Mostre que \( \mathrm{var}( \mathbf{u}^\top \mathbf{X} ) = \mathbf{u}^\top \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{u} \), em que \( \boldsymbol{\Sigma} \) é a matriz de covariância associada a \( \mathbf{X} \).
    (ii) Leia sobre matrizes positivas definidas.
    26 Resolva o Exercício 5.2 [D70, p. 283].

    Referências

    Política do Curso

    A prova de 2a. chamada é destinada apenas àqueles que não compareceram a um dos dois exercícios escolares.

    Não serão realizados listas, provas extras, testes ou qualquer outro meio destinado a "melhorar" a nota. O conceito final no curso será obtido exclusivamente dos resultados apresentados nos Exercícios Escolares, na 2a. Chamada e no Exame Final.