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ET592 - Processos Estocásticos

Ementa

Processo Markoviano de Tempo Discreto.
Processo Markoviano de Tempo Contínuo.
Processo de Bernoulli.
Processo Binomial.
Processo Senoidal.
Estacionariedade.
Funções de Covariância e de Correlação. Amostragem.
Processo de Poisson.

Versão do curso: 2012.1
Período: [2/3/2012]-[//2012]
Horário: Terça-feira, 15-17h; Sexta-feira, 13-15h

Assuntos Ministrados

Aula Assunto
1 - 2/3 Apresentação do Curso e Metodologia
2 - 9/3 Processos Estocásticos: Definição [A97]
3 - 16/3 Cadeias de Markov de Tempo Discreto: Introdução; Exemplos [R03, pp. 181-185]
4 - 20/3 Equações de Chapman-Kolmogorov [R03, pp. 185-189]
5 - 23/3 Classificações de Estados [R03, pp. 190-196]
6 - 27/3 Probabilidades Limites [R03, pp. 200-203], [R03, pp. 205-208]; Discussão computacional.
7 - 30/3 Tempo Médio Gasto em Estados Transitórios [R03, pp. 226-228], [A97, pp.9-11]
8 - 3/4 Processos Ramificados [R03, pp. 228-232], [MS]
9 - 10/4 Distribuição Exponencial [R03, pp. 270-277]; Análise do processo02.dat
10 - 13/4 Convoluções de VV. AA. Exponenciais [R03, pp. 284-287]
11 - 17/4 Processo de Poisson: Processo de Contagem, Definições [R03, pp. 288-291]
12 - 24/4 Derivação matemática do Processo de Poisson [D70, pp. 453-459]; Análise do processo03.dat
13 - 27/4 Distribuções dos Tempos Entre-chegadas e de Espera [R03, pp. 293-295]
14 - 4/5 Mais Propriedades do Processo de Poisson [R03, pp. 295-299]
15 - 11/5 1o. Exercício Escolar
16 - 18/5 Correção do 1o. EE
17 - 22/5 Cadeias de Markov de Tempo Contínuo: Introdução; Processos de Nascimento e Morte [R03, pp. 349-355], [A97, pp. 12-13]
18 - 25/5 Sistemas de Filas [R03, pp.355-356]; Discussão sobre as Técnicas Estatística Empregadas na Análise de um Sistema de Filas [Inferência]
19 - 29/5 Tempo de Espera dos Estados [R03, pp. 356-359]
20 - 1/6 Função de Probabilidade de Transição; Equações de Chapman-Kolmogorov [R03, pp. 359-363], [MS]
21 - 5/6 Equações Diferenciais Retrospectivas e Prospectivas de Kolmogorov [R03, pp. 363-368], [MS]
22 - 12/6 Probabilidades Limites; Exemplos [R03, pp. 368-371]
23 - 15/6 Mais Exemplos [R03, pp. 372-374]
24 - 19/6 Computação das Probabilidades de Transição [R03, pp. 388-390]
25 - 22/6 Proposição de 2o. Exercício Escolar
26 - 26/6 Consulta
27 - 29/6 Consulta
28 - 3/7 2o. Exercício Escolar
29 - 6/7 Correção do 2o. EE
30 - 10/7 2a. Chamada
31 - 13/7 Exercício Final

Tarefa de Casa

Aula Tarefa
1 (i) Leia sobre a carreira profissional.

(ii) Leia sobre Política e Etiqueta em sala de aula.

(iii) Instale GNU Octave ou R em seu computador.

O instalador do GNU Octave para Windows é disponível livremente no sítio octave.sourceforge.net. Se usa Linux baseado em Debian (e.g., Linux Mint), basta digitar:
$ sudo apt-get update
$ sudo apt-get install octave
(iv) Leia/estude um tutorial para o GNU Octave ou R. Para GNU Octave, um tutorial em Português está neste Curso de MATLAB.

(v) Examine/estude/entenda/use a função bernoulli.m. Se não usa GNU Octave, reescreva esta função em R.
2 (i) Considere um processo estocástico \(\{X_n, n=1,2,\ldots\}\) tal que \(P(X_n=1) = p^n\) e \(P(X_n=0) = 1-p^n\), em que \(0 < p < 1 \). Escreva um programa computacional que gere realizações desse processo. Calcule a esperança e a variância desse processo. Comente o resultado.

(ii) Defina \(Y_n = \sum_{i=1}^n X_i \). Gere sequências típicas de \(Y_n\).

(iii) Estude a função xcorr do Matlab. Procure o equivalent em R.

(iv) [Consultoria] Considere a seguinte realização de um processo estocástico: processo01.dat. Analise-o. Dados obtidos do US Commerce Department.
3 (i) Leia o seguinte texto sobre Processo de Markov.

(ii) Leia sobre Sir Ronald Fisher.

(iii) Leia o seguinte artigo: Mindless statistics por G. Gigerenzer.

(iv) Escreva códigos em Matlab/R que gere realizações do processos markovianos exemplificados em [R03, pp. 181-185].

(v) Com o resultado do item anterior, estime as freqüências de cada estado para cada processo.

(vi) [Consultoria] Escreva um código que tem como saída uma matriz estocástica de dimensão \(N\times N\) aleatoriamente gerada, em que \(N\geq 2\) é um inteiro (entrada do código).

(vii) [Consultoria] Escreva um código geral em Matlab/R que tenha como entrada uma matriz de probabilidades de transição e como saída uma realização do processo markoviano associado.
4 (i) Resolva os Exercícios 6-13 [R03, p.252-253].

(ii) Escreva um código que realize a potenciação de matrizes de modo eficiente (minizando operações aritméticas).
5 (i) Resolva os Exercícios 15 e 17 [R03, p.254-255].

(ii) Leia [A97, pp.6-7].
6 (i) Leia o seguinte texto: Markov Chain.

(ii) Particularize o Exemplo 4.21 [R03, p.205] para \(n = 2\).

(iii) Leia [A97, pp.7-9].

(iv) Consulte a referência [L01].

(v) Escreva um programa que gere matrizes estocásticas aleatoriamente. Para cada matriz, faça um loop e calcule sucessivas potências da matriz estocástica. Verifique a freqüência com que essas matrizes convergem para uma matriz de colunas iguais. Repita a simulação para matrizes de diversas dimensões.

(vi) [Consultoria] Escreva um programa que recebe como entrada uma matriz estocástica e retorna as probabilidades estacionárias.

(vii) [Consultoria] Considere a seguinte realização de um processo estocástico: processo02.dat. Analise-o. Dados obtidos de [The RAND Corporation (1955), A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates, Free Press].
7 (i) [Consultoria] Escreva um código que retorne os tempos médios de recorrência de uma cadeia de Markov irredutível baseando-se apenas na matriz de probabilidades de transição \( \pmb{P} \).

(ii) [Consultoria] Escreva um código que estime os tempos médios de recorrência para uma dada realização de um processo estocástico.

(iii) Verifique computacionalmente que \( \pmb{\pi} = \mathrm{diag}^{-1}(\pmb{\mu})\), em que \( \pmb{\pi} \) é o vetor de probabilidades estacionárias e \( \pmb{\mu} \) é a matriz de tempos de recorrência.

8 (i) Leia o seguinte texto: Processos Ramificados [MS].

(ii) Examine os Exemplos 4.28-4.30 em [R03, p.232].

(iii) Resolva o Exercício 66 [R03, p.264].

(iv) Considere um processo ramificado tal que \(P_j=0\) para \(j>2\). Encontre condições para \(P_0\), \(P_1\) e \(P_2\) para que a população seja extinta. Expresse a probabilidade de extinção em termos de \(P_0\), \(P_1\) e \(P_2\).

(v) Leia os seguintes textos: Theoretical Ecology e Francis Galton.

(vi) Veja o trabalho original de Walton-Galton.
9 (i) [Consultoria] Considere a seguinte realização de um processo estocástico: processo03.dat. Analise-o.
10 (i) Escreva um código que faça o gráfico da fdp resultante da convolução de fdp exponenciais com parâmetros possivelmente diferentes.

(ii) Usando resultados gerados por R ou GNU Octave/MATLAB com o utilitário ImageMagick, faça uma animação mostrando a evolução de \[ f_n(x) = \underbrace{f(x) \ast \cdots \ast f(x)}_{\text{$n-1$ convoluções}}, \] em que \(f(x)\) é uma fdp exponencial.
11 (i) Leia sobre o economista e estatístico Ladislaus Josephovich Bortkiewicz e sobre o matemático Siméon-Denis Poisson.

(ii) Leia sobre o Processo de Poisson.

(iii) Dê interpretação física para \( N(0)=0 \), \( P[N(h)=1]= \lambda h + o(h)\), \( P[N(h)\geq 2]=o(h) \) e para o processo ter incrementos estacionários e independentes [R03, p. 290].

(iv) Comente sobre a interpretação física e o papel da quantidade \( o(h) \). Mostre o porquê deste termo ser necessário.

(v) Preencha todos os detalhes da prova do Teorema 5.1 [R03, p.291], inclusive transformada inversa de Laplace.
12 (i) Faça um gráfico do termo de correção o(Δt), como encontrado no Exercício 2.4 [D70, p.459]. Como sugestão, utilize o Winplot.

(ii) Encontre a expressão do termo de correção o(Δt) quando o incremento do processo de contatem de Poisson é \( k = 0, 1, 2, \ldots \). Faça gráficos.

(iii) Exemplifique três funções --- diferente das encontradas acima --- que sejam \( o( \Delta t) \).

(iv) Faça o gráfico de \(p_k(t)\) para \(k = 0, 1, 2, \ldots \) e para valores distintos de \( \lambda \). Interprete; tire conclusões.

(v) [Consultoria] Leia sobre testes de aleatoriedade, e.g. runstest (MATLAB Statistcs Toolbox Documentation) e Runs Test for Randomness (R Documentation).
13 (i) [Consultoria] Durante o concerto de Paul McCartney (21 de abril de 2012) em Recife, foram feitas as seguintes filmagens do público durante um intervalo de aproximadamente 2 minutos: As filmagens foram realizadas aproximadamente uma hora antes do espetáculo iniciar quando o público fotografava a pré-apresentação exibida nos telões.
Derive um modelo matemático para a ocorrência dos flashes das câmeras fotográficas. Justifique todas as hipóteses de seu modelo.

(ii) [Consultoria] Descreva em detalhes como extrair os dados do item anterior. (Nem sempre os dados vêm organizados e registrados em tabelas, prontos para "consumo".)

(iii) [Consultoria] Usando um certo método, foram obtidos os seguintes dados para os instantes dos flashes: mccartney-data.dat
21 (i) Entenda a manipulação matemática em [R03, p. 365].

(ii) Resolva a última equação diferencial em [R03, p.356] usando o método da Transformada de Laplace e compare seu resultado com o desenvolvimento feito no livro.

(iii) Resolva os Exercícios 8 e 10 [R03, p.392].

(iv) Estude o texto auxiliar: Equações Diferenciais de Kolmogorov.
25 (i) Resolva o Exercício 6 [R03, p.391].

(ii) Leia o seguinte texto e resolva os exercícios: Teoria das Filas (Modelo M/M/1) [MS].

(ii) Estudo acerca de filas: Estudo Prático do Modelo M/M/1 [MS].

Referências

Política do Curso

A prova de 2a. chamada é destinada apenas àqueles que não compareceram a um dos dois exercícios escolares.

Não serão realizados listas, provas extras, testes ou qualquer outro meio destinado a "melhorar" a nota. O conceito final no curso será obtido exclusivamente dos resultados apresentados nos Exercícios Escolares, na 2a. Chamada e no Exame Final.

Solicite ao instrutor as recomendações políticas do curso em papel impresso.