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ET592 - Processos Estocásticos

Ementa

Processo de Bernoulli.
Processo Binomial.
Processo Senoidal.
Estacionariedade.
Funções de Covariância e de Correlação. Amostragem.
Processo de Poisson.
Processo Markoviano de Tempo Discreto.
Processo Markoviano de Tempo Contínuo.

Versão do curso: 2011.2
Período: [9/8/2011]-[15/12/2011]
Horário: Terça-feira, 13-15h; Quinta-feira, 15-17h

Assuntos Ministrados

Aula Assunto
1 - 9/8 Apresentação do Curso e Metodologia
2 - 16/8 Processos Estocásticos: Definição
3 - 18/8 Cadeias de Markov de Tempo Discreto: Introdução; Exemplos [R03, pp. 181-185]
4 - 23/8 Equações de Chapman-Kolmogorov [R03, pp. 185-189]
5 - 25/8 Classificações de Estados [R03, pp. 190-196]
6 - 30/8 Probabilidades Limites [R03, pp. 200-203], [R03, pp. 205-208]
7 - 1/9 Tempo Médio Gasto em Estados Transitórios [R03, pp. 226-228], [A97, pp.9-11]
8 - 6/9 Processos Ramificados [R03, pp. 228-232], [MS]
9 - 8/9 Distribuição Exponencial [R03, pp. 270-277]
10 - 13/9 Convoluções de VV. AA. Exponenciais [R03, pp. 284-287]
11 - 15/9 Processo de Poisson: Processo de Contagem, Definições [R03, pp. 288-291]
12 - 20/9 Distribuções dos Tempos Entre-chegadas e de Espera [R03, pp. 293-295]
13 - 22/9 Mais Propriedades do Processo de Poisson [R03, pp. 295-299]
14 - 27/9 Consulta
15 - 29/9 1o. Exercício Escolar
16 - 6/10 Correção do 1o. EE
17 - 11/10 Cadeias de Markov de Tempo Contínuo: Introdução; Processos de Nascimento e Morte [R03, pp. 349-355], [A97, pp. 12-13]
18 - 13/10 Sistemas de Filas [R03, pp.355-356]; Discussão sobre as Técnicas Estatística Empregadas na Análise de um Sistema de Filas [Inferência]
19 - 20/10 Tempo de Espera dos Estados [R03, pp. 356-359]
20 - 25/10 Função de Probabilidade de Transição; Equações de Chapman-Kolmogorov [R03, pp. 359-363], [MS]
21 - 27/10 Equações Diferenciais Retrospectivas e Prospectivas de Kolmogorov [R03, pp. 363-368], [MS]
22 - 1/11 Probabilidades Limites; Exemplos [R03, pp. 368-371]
23 - 3/11 Mais Exemplos [R03, pp. 372-374]
24 - 8/11 Computação das Probabilidades de Transição [R03, pp. 388-390]
25 - 10/11 Análise do Sistema de filas M/M/1 [MS]
26 - 15/11 Prática
27 - 17/11 Apresentação Final
28 - 22/11 2o. Exercício Escolar
29 - 24/11 Correção do 2o. EE
30 - 29/11 2a. Chamada
31 - 1/12 Exercício Final

Tarefa de Casa

Aula Tarefa
1 (i) Leia sobre a carreira profissional.

(ii) Leia sobre Política e Etiqueta em sala de aula.

(iii) Instale GNU Octave ou R em seu computador.

O instalador do GNU Octave para Windows é disponível livremente no sítio octave.sourceforge.net. Se usa Linux baseado em Debian (e.g., Ubuntu), basta digitar:
$ sudo apt-get update
$ sudo apt-get install octave
(iv) Leia/estude um tutorial para o GNU Octave ou R. Para GNU Octave, um tutorial em Português está neste Curso de MATLAB.

(v) Examine/estude/entenda/use a função bernoulli.m. Se não usa GNU Octave, reescreva esta função em R.
2 (i) Considere um processo estocástico \(\{X_n, n=1,2,\ldots\}\) tal que \(P(X_n=1) = p^n\) e \(P(X_n=0) = 1-p^n\), em que \(0 < p < 1 \). Escreva um programa computacional que gere realizações desse processo. Calcule a esperança e a variância desse processo. Comente o resultado.

(ii) Defina \(Y_n = \sum_{i=1}^n X_i \). Gere sequências típicas de \(Y_n\).

(iii) Teste a solução do Ex. 2.4 [D70, p.306] encontrada pela turma. Se houver alguma incoerência, corrija a solução que foi encontrada. Sugestão: Refaça o Ex. 2.3 [D70, p.306] para n=3,4,5. Então, confronte seus resultados com a solução da turma para o Ex. 2.4.
3 (i) Leia o seguinte texto Processo de Markov.

(ii) Leia sobre Sir Ronald Fisher.

(iii) Leia o seguinte artigo: Mindless statistics por G. Gigerenzer.
4 Resolva os Exercícios 6-13 [R03, p.252-253].
5 (i) Resolva os Exercícios 15 e 17 [R03, p.254-255].

(ii) Leia [A97, pp.6-7].
6 (i) Leia o seguinte texto: Markov Chain.

(ii) Particularize o Exemplo 4.21 [R03, p.205] para \(n = 2\).

(iii) Leia [A97, pp.7-9].

(iv) Consulte a referência [L01].

(v) Escreva um programa que gere matrizes estocásticas aleatoriamente. Para cada matriz, faça um loop e calcule sucessivas potências da matriz estocástica. Verifique a freqüência com que essas matrizes convergem para uma matriz de linhas iguais. Repita a simulação para matrizes de diversas dimensões.
8 (i) Leia o seguinte texto: Processos Ramificados [MS].

(ii) Examine os Exemplos 4.28-4.30 em [R03, p.232].

(iii) Resolva o Exercício 66 [R03, p.264].

(iv) Considere um processo ramificado tal que \(P_j=0\) para \(j>2\). Encontre condições para \(P_0\), \(P_1\) e \(P_2\) para que a população seja extinta. Expresse a probabilidade de extinção em termos de \(P_0\), \(P_1\) e \(P_2\).

(v) Leia os seguintes textos: Theoretical Ecology e Francis Galton.

(vi) Veja o trabalho original de Walton-Galton.
10 (i) Leia [A97, pp. 12-13].
21 (i) Entenda a manipulação matemática em [R03, p. 365].

(ii) Resolva a última equação diferencial em [R03, p.356] usando o método da Transformada de Laplace e compare seu resultado com o desenvolvimento feito no livro.

(iii) Resolva os Exercícios 8 e 10 [R03, p.392].

(iv) Estude o texto auxiliar: Equações Diferenciais de Kolmogorov.
25 (i) Resolva o Exercício 6 [R03, p.391].

(ii) Leia o seguinte texto e resolva os exercícios: Teoria das Filas (Modelo M/M/1) [MS].

(ii) Estudo acerca de filas: Estudo Prático do Modelo M/M/1 [MS].

Referências

Política do Curso

A prova de 2a. chamada é destinada apenas àqueles que não compareceram a um dos dois exercícios escolares.

Não serão realizados listas, provas extras, testes ou qualquer outro meio destinado a "melhorar" a nota. O conceito final no curso será obtido exclusivamente dos resultados apresentados nos Exercícios Escolares, na 2a. Chamada e no Exame Final.

Solicite ao instrutor as recomendações políticas do curso em papel impresso.