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ET592 - Processos Estocásticos

Ementa

Processo de Bernoulli.
Processo Binomial.
Processo Senoidal.
Estacionariedade.
Funções de Covariância e de Correlação. Amostragem.
Processo de Poisson.
Processo Markoviano de Tempo Discreto.
Processo Markoviano de Tempo Contínuo.

Versão do curso: 2010.1 (3a. Edição)
Período: [9/3/2010]-[22/7/2010]
Horário: Terça-feira, 15-17h; Quinta-feira, 13-15h

Assuntos Ministrados

Aula Assunto
1 - 9/3 Apresentação do Curso e Metodologia
2 - 11/3 Processos Estocásticos: Definição; Processo de Bernoulli; Processo Binomial [D70, pp.298-306]; Exercícios 1.1,2.1-2.4 [D70, pp.301-306]
3 - 16/3 Exercícios 2.5-2.6 [D70, p.307]; Exercício 3.1 [D70, p.309]; Processo Senoidal [D70, pp.306-310]
4 - 18/3 Descripção de um Processo Estocástico [D70, pp.311-315]; Estacionariedade em Sentido Estricto [D70, pp.315-316]; Exercícios 5.1-5.2 [D70, p.316]; Digressão sobre o Passeio Aleatório n-Dimensional: Uso do Lemma de Borel-Cantelli e transitoriedade do estado 'retornar a origem'
5 - 23/3 Funções de Covariância e de Correlação; Exercícios 6.1-6.2 [D70, pp.315-320]
6 - 25/3 Exercícios 6.3-6.4 [D70, p.320-321]; Múltiplos Processos Estocástico [D70, pp.321-322]; Estacionariedade e Propriedades da Função de Autocorrelação [D70, pp.322-324]; Exercícios 7.1-7.2 [D70, pp.322-323]
7 - 30/3 Estacionariedade em Sentido Amplo [D70, pp.325-326]
8 - 1/4 Estacionariedade em Covariância [D70, pp.326-328]; Amostragem de um Processo Estocástico [D70, pp.328-332]
9 - 13/4 Amostragem Periódica [D70, pp.322-335], Processo de Poisson: Definições [D70, pp.453-458]
10 - 15/4 Sumário da Definição do Processo de Contagem de Poisson; Exercícios [D70, pp.458-459]
11 - 20/4 Soma de Processos de Poisson, Exercícios [D70, p.460]; Processo de Yule-Furry (Nascimento Linear) [D70, pp.461-462]
12 - 22/4 Processo de Poisson Não-homogêneo; Tempos de Chegada [D70, pp.466-469]
13 - 29/4 Tempos Entre Chegadas [D70, pp.469-472]
14 - 4/5 Exercício 2.6 [D70, p.460]
15 - 6/5 1o. Exercício Escolar
16 - 11/5 Correção do 1o. EE
17 - 13/5 Cadeias de Markov de Tempo Discreto: Introdução; Exemplos [R03, pp.181-185]
18 - 18/5 Equações de Chapman-Kolmogorov [R03, pp.185-189]
19 - 25/5 Classificações de Estados [R03, pp.190-196]
20 - 1/6 Probabilidades Limites [R03, pp.200-203], [R03, p.205-208]
21 - 8/6 Tempo Médio Gasto em Estados Transitórios [R03, pp.226-228], [A97, pp.9-11]
22 - 10/6 Processos Ramificados [R03, p.228-232], [MS]
23 - 15/6 Cadeias de Markov de Tempo Contínuo: Introdução; Processos de Nascimento e Morte [R03, pp.349-355], [A97, pp. 12-13]
24 - 22/6 Sistemas de Filas [R03, pp.355-356]; Discussão sobre as Técnicas Estatística Empregadas na Análise de um Sistema de Filas, Tempo de Espera dos Estados [R03, p356-359]
25 - 29/6 Função de Probabilidade de Transição; Equações de Chapman-Kolmogorov [R03, pp.359-363], [MS]
26 - 1/7 Equações Diferenciais Retrospectivas e Prospectivas de Kolmogorov [R03, p.363-368], [MS]
27 - 6/7 Probabilidades Limites; Exemplos [R03, pp.368-374]
28 - 13/7 2o. Exercício Escolar
29 - 15/7 Correção do 2o. EE
30 - 20/7 2a. Chamada
31 - 22/7 Exercício Final

Tarefa de Casa

Aula Tarefa
2 (i) Considere um processo estocástico tal que P(X_n=1) = p^n e P(X_n=0) = 1-p^n, em que 0 < p < 1. Escreva um programa computacional que gere realizações desse processo. Calcule a esperança e a variância desse processo. Comente o resultado.
(ii) Defina Y_n = sum(X_i, i = 1..n). Gere sequências típicas de Y_n.
(iii) Teste a solução do Ex. 2.4 [D70, p.306] encontrada pela turma. Se houver alguma incoerência, corrija a solução que foi encontrada. Sugestão: Refaça o Ex. 2.3 [D70, p.306] para n=3,4,5. Então, confronte seus resultados com a solução da turma para o Ex. 2.4.
3 (i) Resolva os Exercícios 3.2-3.5 [D70, pp.310-311].
(ii) Observe o gráfico do Índice IBOVESPA e reconheça-o como a realização de um processo estocástico. Veja o índice nos últimos 5 dias, 3 meses, 6 meses, 1 ano, 2 anos e 5 anos. Teça alguma conclusão sobre o que você vê.
4 (i) Estude a Aproximação de Stirling. Faça um gráfico de n! e de sua aproximação. Faça um gráfico do erro absoluto e do erro relativo fornecido pela aproximação.
(ii) Sobre o passeio aleatório 1-D, foi observado que P(S_{2n}=0)=\binom{2n}{n} (1/2)^{2n}. Repita o raciocínio empregado para obter esse resultado.
(iii) Use a Aproximação de Stirling para simplificar o resultado visto no item anterior.
(iv) Encontre uma expressão para P(S_{2n}=0), em que S_i, i=0,1,2,... é um passeio aleatório em duas dimensões em que a movimento horizontal é independente do movimento vertical.
(v) Considere que --- no caso do passeio aleatório --- os seguintes resultados são válidos: (a) "Se \sum(P(A_n), n = 1..infinito) = infinito, então P(A_n ocorrer infinitas vezes) = 1". (b) "Se \sum(P(A_n), n = 1..infinito) < infinito, então P(A_n ocorrer infinitas vezes) = 0". (Caso haja interesse, uma justificativa para esses resultados está disponível aqui. Entretanto, note que, em geral, isso não é verdade. Para o resultado geral, vide o Lemma de Borel-Cantelli.) Afirme se os passeios aleatórios 1-D, 2-D e 3-D retornam à origem infinitas vezes ou não, respectivamente. Esse questionamento foi respondido pela primeira vez por George Pólya in 1921.
(vi) Escreva um programa que simule um passeio aleatório de um ponto na tela de um computador. Considere o caso 1-D e 2-D. Se você for "bold enough", faça o caso 3-D. Experimente vários valores de p.
(vii) Leia [A97, pp.1-2].
5 (i) Faça um programa computacional que simule o processo do telégrafo aleatório.
(ii) Estude a teoria de predição linear.
(iii) Implemente o preditor linear sugerido na Eq. 6.7 [D70, p.319].
(iv) Faça uma curva da taxa de acerto do preditor linear implementado em função de λ para valores fixos de τ. "Brinque" com estas quantidades para encontrar valores adequados para sua simulação.
(v) Faça uma revisão geral sobre séries de Taylor das funções mais comuns.
6 (i) Resolva o Exercício 7.3 [D70, p.323].
(ii) Resolva o Exercício 7.4 [D70, p.324] através da seguinte Lista de Exercícios sobre continuidade de funções reais.
7 (i) Resolva o Exercício 7.8 [D70, p.326].
(ii) Resolva a seguinte Lista de Exercícios. Esta lista é importante para a ampliação de sua habilidade computational, que pode ser a diferença entre estar empregado ou não.
9 (i) Resolva a seguinte Lista de Exercícios.
10 (i) Leia sobre o economista e estatístico Ladislaus Josephovich Bortkiewicz e sobre o matemático Siméon-Denis Poisson.
(ii) Faça um gráfico do termo de correção o(Δt), como encontrado no Exercício 2.4 [D70, p.459]. Como sugestão, utilize o Winplot.
(iii) Encontre a expressão do termo de correção o(Δt) quando o incremento do processo de contatem de Poisson é k = 0, 1, 2, 3 ... . Faça gráficos.
(iv) Exemplifique três funções --- diferente das encontradas acima --- que sejam o(Δt).
(v) Faça o gráfico de p_k(t) para k = 0, 1, 2, ... e para valores distintos de λ. Interprete; tire conclusões.
11 (i) Resolva o Exercício 2.5 [D70, p.460] e o Exercício 2.8 [D70, p.462].
(ii) Faça um simulação computacional que implemente o processo de Yule-Furry (Nascimento Linear).
(iii) Considere que o tráfego de veículos automóveis numa avenida é governado por um processo de Poisson. É sabido que para qualquer intervalo de 5 minutos de duração, 50 carros chegam em média. Encontre a probabilidade de que --- para qualquer intervalo de 5 minutos --- 20 carros cheguem no primeiro minuto e 20 carros cheguem nos próximos 4 minutos.
(iv) Encontre a probabilidade de 5 chegadas de um processo estocástico de Poisson no intervalo de tempo [6,9] se λ = 1. Encontre também o número médio de chegadas para o mesmo intervalo de tempo.
12 (i) Resolva a seguinte Lista de Exercícios.
14 (i) Resolva a Lista de Exercícios sobre Processo de Poisson de Nascimento, quando a população inicial é não-nula.
(ii) Resolva a Lista de Exercícios sobre Processo de Poisson de Morte. Trata-se do problema inverso.
(iii) Resolva a Lista de Exercícios sobre Processo de Nascimento e Morte de Poisson. Esta lista é muito importante e captura o nível de habilidade esperada.
17 (i) Resolva os Exercícios 1-3 [R03, p.252-253].
(ii) Leia [A97, pp.3-6].
18 Resolva os Exercícios 6-13 [R03, p.252-253].
19 (i) Resolva os Exercícios 15 e 17 [R03, p.254-255].
(ii) Leia [A97, pp.6-7].
20 (i) Leia o seguinte texto: Markov Chain.
(ii) Particularize o Exemplo 4.21 [R03, p.205] para n = 2.
(iii) Leia [A97, pp.7-9].
(iv) Consulte a referência [L01].
22 (i) Leia o seguinte texto: Processos Ramificados [MS] (Atualizado).
(ii) Examine os Exemplos 4.28-4.30 em [R03, p.232].
(iii) Resolva o Exercício 66 [R03, p.264].
23 (i) Leia [A97, pp. 12-13].
24 (i) Resolva o Exercício 6 [R03, p.391].
(ii) Leia o seguinte texto e resolva os exercícios: Teoria das Filas (Modelo M/M/1) [MS].
(ii) Estudo acerca de filas: Estudo Prático do Modelo M/M/1 [MS].
26 (i) Entenda a manipulação matemática em [R03, p. 365].
(ii) Resolva a última equação diferencial em [R03, p.356] usando o método da Transformada de Laplace e compare seu resultado com o desenvolvimento feito no livro.
(iii) Resolva os Exercícios 8 e 10 [R03, p.392].
(iv) Estude o texto auxiliar: Equações Diferenciais de Kolmogorov.

Referências

Política do Curso

A prova de 2a. chamada é destinada apenas àqueles que não compareceram a um dos dois exercícios escolares.

Não serão realizados listas, provas extras, testes ou qualquer outro meio destinado a "melhorar" a nota. O conceito final no curso será obtido exclusivamente dos resultados apresentados nos Exercícios Escolares, na 2a. Chamada e no Exame Final.

Solicite ao instrutor as recomendações políticas do curso em papel impresso.