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ET583 - Probabilidade III

Ementa: [pdf]

Versão do curso: 2008.1
Período: [26/2/2008]-[3/7/-2008]
Horário: Terça-feira, 10-12h; Quinta-feira, 8-10h

Assuntos Ministrados

Aula Assunto
1 - 26/2 Apresentação do Curso e Metodologia
2 - 6/3 Vetores Aleatórios, Exercícios [D70, pp.137-143]
3 - 11/3 Distribuição de Probabilidade Conjunta, Exercícios; Densidade de Probabilidade Conjunta [D70, pp.143-147]
4 - 13/3 Relações entre Densidades e Distribuições Conjuntas [D70, pp.147-149]
5 - 18/3 Exercícios [D70, pp.149-152]
6 - 25/3 Revisão [H71, pp.143-146], Distribuições Conjuntas Condicionais [D70, pp.152-154], Exercícios [D70, p.155]
7 - 27/3 Densidades Condicionais [D70, pp.156-157]; Digressão sobre métodos estatísticos, distribuições empíricas e o teste de Kolmogorov-Smirnov
8 - 1/4 Condicionamento pontual [D70, pp.158-159], Propriedades da f.d.p. condicional, Exercícios [D70, pp.159-162]
9 - 3/4 Independência de VV.AA., Exercícios [D70, pp.164-168]
10 - 8/4 Independência [D70, pp.168-170], Propriedades de Distribuições Multidimensionais (Independência) [H71, pp.161-163], Propriedade Hereditária [H71, p.163, Teorema 4]; Comentários revisionais
11 - 11/4 Funções de Vetores Aleatórios [D70, pp.186-190], Exercício 3.1 [D70, p.192]
12 - 15/4 Soma de Variáveis Aleatórias (continuação) [D70, pp.191-193], Exercício 3.3 [D70, p.193]; Convolução; Propriedades da Convolução; Função generalizada delta de Dirac (impulso)
13 - 18/4 Outras funções escalares, Produto de Variáveis Aleatórias [D70, pp.194-195]
14 - 22/4 Distribuição do Quociente [D70, pp.195-196], [H71, pp.154-156]
15 - 24/4 1o. Exercício Escolar
16 - 29/4 Correção do 1o. EE
17 - 6/5 Estatística de Ordem [H71, pp.164-167]
18 - 8/5 Transformações Um-a-um, Jacobiano [D70, pp.197-203]
19 - 15/5 Exercícios, Caso n-dimensional [D70, pp.204-206]
20 - 20/5 Distribuições Amostrais (Gamma, Chi-quadrado, F) [HPS71, pp.168-169,162-163,152]; Digressão: Geradores de Números Aleatórios, 'Verdadeira' Aleatoriedade, Linearidade vs. Não-linearidade, Linearização, Exemplos; Esperança de Funçoes de Vetores Aleatórios [D70, pp.219-223]
21 - 22/5 Extensão para o Caso Contínuo, Integral de Lebesgue-Stieltjes [D70, pp.223-231]
22 - 27/5 Momentos Conjuntos, Correlação, Covariância [D70, p.246]; Descorrelação, Descorrelação dois-a-dois, Independência e Descorrelação, Ortogonalidade [D70, pp.247-249]
23 - 29/5 Vetores Aleatórios Gaussianos, Distribuição Normal Multivariada [D70, pp.249-250]
24 - 3/6 Esperança Condicional [D70, pp.250-254]
25 - 5/6 Esperança Condicional [H71, pp.187-189], Função de Regressão [H71, p.188], Variância Condicional [MS]
26 - 10/6 Aplicações: Média Amostral, Estimador, Estimador Não-viesado, Convergência em Média Quadrática, Convergência em Probabilidade, Estimadores Consistentes, Lei Fraca dos Grandes Números, Teorema de Bernoulli [D70, pp.268-274]; Estimadores de Mínima Variância [D70, pp.282-283]
27 - 12/6 Aplicações: Predição [D70, pp.286-288, pp.292-294]
28 - 17/6 2o. Exercício Escolar
29 - 19/6 Correção do 2o. EE
30 - 1/7 2a. Chamada
31 - 3/7 Exercício Final

Tarefa de Casa

Aula Tarefa
3 - 11/3 (i) Verifique a Equação 3.2 [D70, p.146]
(ii) Considere uma vector aleatório $(X,Y,Z)$. Use a definição de derivada e encontre a probabilidade associada a uma região em forma de paralelepípedo em termos da função de distribuição $F_{X,Y,Z}$.
4 - 13/3 Considere um vector aleatório $(X,Y,Z)$. Prove que a probabilidade associada a uma região em forma de paralelepípedo é dada por uma integral tripla.
5 - 18/3 (i) Consulte o artigo Probability distribution em Wikipedia.
(ii) Obtenha e aprenda a usar o programa Winplot.
6 - 25/3 (i) Resolva exercícios em [H71, p.174-177].
7 - 27/3 (i) Resolva o Ex.5.2 [D70, p.157] com extremo detalhe e organização.
(ii) Usando o R, simule várias observações a v.a. X do Ex.5.2 [D70, p.157] (N>100); faça um histograma.
(iii) Descubra como usar o teste de Kolmogorov-Smirnov usando o R e verifique se as observações geradas no ítem anterior satisfazem normalidade.
(iv) Usando recursos computationais, construa o gráfico de F_{X,Y}(x,y) do Ex.5.2 [D70, p.157].
8 - 1/4 Resolva os exercícios em [D70, pp.162-163].
9 - 3/4 Lista de Exercício Mandatória: Exercícios 6.1-6.6 [D70, pp.166-168].
10 - 8/4 Demonstre as Equações 6.12 e 6.13 [D70, p.169].
12 - 15/4 (i) Resolva os Exercícios 3.1-3.4 [D70, pp.192-193].
(ii) Resolva a seguinte Lista de Exercícios sobre a função generalizada Delta de Dirac. Um texto acerca do Delta de Dirac está no Apêndice do Livro do Papoulis [Papoulis, "The Fourier Transform and Its Applications"].
14 - 22/4 Usando a Equação 3.19 [D70, p.195], obtenha a Equação (22) [H71, p.155]. Dica: Note que o quociente Z = X/Y é o mesmo que o produto Z = X * (1/Y).
15 - 24/4 Resolva em detalhes o 1o. Exercício Escolar.
17 - 6/5 (i) Estude a "forma heurística" descrita em [H71, p.167] para a obtenção da Equação (38) [H71, p.166].
(ii) Resolva os Exercícios 19 e 20 em [H71, p.199].
(iii) Escreva um programa em R para simular as estatísticas de ordem. Como ponto de partida, analise o seguinte programa escrito em Matlab: order_statistics.m. Como exemplo de uma simulação, veja estes histogramas.
18 - 8/5 (i) Resolva os Exercícios 4.2 e 4.3 [D70, pp.203-204].
(ii) Estude a Secção 6.7 [H71, pp.171-173].
(iii) Consulte seu livro de Cálculo favorito e reexamine o conceito de 'transformação de variáveis' e 'Jacobiano'.
(iv) Resolva os Exercícios 41, 42 e 43 [H71, p.177].
20 - 20/5 (i) Visite a biblioteca do CCEN e consulte as seguintes referências:

  • Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N., "Continuous Univariate Distributions", Wiley-Interscience, 1994.
  • Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N., "Univariate Discrete Distributions", Wiley-Interscience, 2005.

  • (ii) Resolva a seguinte pequena lista de exercícios sobre a manipulação de algumas distribuições amostrais notáveis.
    (iii) Resolva os exercícios 4.2 e 4.5 [D70, p.222-223].
    21 - 22/5 Verifique as Expressões 6.3-6.7 [D70, pp.232-233]; Faça o Exercício 6.1 [D70, p.233].
    22 - 27/5 Resolva a seguinte Lista de Exercícios.
    24 - 3/6 Resolva o Exercício 11.4(a) [D70, p.254] para todo k.
    26 - 10/6 Resolva o Exercício 5.2 [D70, p.283].

    Referências

    Política do Curso

    A prova de 2a. chamada é destinada apenas àqueles que não compareceram a um dos dois exercícios escolares.

    Não serão realizados listas, provas extras, testes ou qualquer outro meio destinado a "melhorar" a nota. O conceito final no curso será obtido exclusivamente dos resultados apresentados nos Exercícios Escolares, na 2a. Chamada e no Exame Final.